| |
Kinematyka punktu materialnego - rzuty, spadki itp. ;D
singulair.serwis |
W tym temacie zamieszczam ręcznie napisaną przeze mnie pracę, wykonaną z własnej woli, bez żadnych materiałów pomocniczych. Zajęło mi to trochę weekendu ale tam ;). Z góry przepraszam, jeśli równania zamieszczenie w pracy są nieczytelne (na forum to niestety tak wygląda) PS. Schematy są z neta.
Legenda:
h - wartość bezwzględna różnicy wysokości początkowej ciała i jego wysokości końcowej
(V₀/Vĸ/r₀/r/g)x - dana wielkość wzdłuż składowej X
(V₀/Vĸ/r₀/r/g)y - dana wielkość wzdłuż składowej Y
r₀ - położenie początkowe ciała w układzie odniesienia
r - przemieszczenie ciała względem przyjętego układu odniesienia
V₀ - prędkość początkowa ciała
Vĸ - prędkość końcowa ciała (czasem występować będzie po prostu jako ‘V’)
g - przyspieszenie ziemskie
t - czas trwania całego ruchu ciała
t↑ - czas wznoszenia się ciała
t↓ - czas upadku ciała
Ymax - maksymalna wysokość osiągnięta przez ciało (rzut ukośny)
z - zasięg (xmax) (rzut poziomy oraz ukośny)
Spadek swobodny:
Polega na tym, że pewne ciało znajdujące się na danej wysokości o prędkości początkowej V₀ = 0 (w stanie spoczynku) zaczyna swobodnie spadać w dół w kierunku pionowym. Na ciało działa przyspieszenie ziemskie g ≈ 9,81 m/s^2 .
W kinematyce (i nie tylko) ważny jest przyjęty przez nas układ odniesienia. Znak (+ lub -) poszczególnych wielkości fizycznych zależy od zwrotów ich wektorów względem układu odniesienia (stąd znaki ± w przedstawionych przeze mnie wzorach).
Główne wzory potrzebne nam do rozwiązywania zadań:
r = r₀ +/- (gt^2)/2
Vĸ = +/- gt
Najważniejsze przekształcenia (charakterystyczne dla spadku swobodnego) powyższych wzorów dla ± ↔ +: [*Uwaga: przy robieniu zadań (nie tylko tych ze spadku swobodnego) należy pamiętać, że wzory w kinematyce mogą zawierać inne znaki (zależnie od przyjętego układu odniesienia), oraz, że często trzeba uzależnić oba główne wzory od siebie, aby otrzymać wynik w zadaniu]
g=2h/t^2
g=Vĸ/t
t=Vĸ/g
t=√(2h/g)
Rzut pionowy:
Rzut pionowy zdefiniuję w ten sam sposób co spadek swobodny, lecz występuje tutaj V₀ ≠ 0 (czyli ciału nadano pewną prędkość początkową), oraz można go skierować zarówno w dół, jak i w górę.
Główne wzory potrzebne nam do rozwiązywania zadań:
r = r₀ +/- V₀t +/- (gt^2)/2
Vĸ = +/- V₀ +/- gt
Przekształcanie powyższych wzorów dla +/- ↔ +: (*Uwaga – patrz poprzednia), ( Do niektórych należy użyć znajomości równań kwadratowych, np. przy wyznaczaniu ‘t’ ze wzoru r = r₀ +/- V₀t +/- (gt^2)/2 )
Rzut w górę:
t↑=(V₀ )/g
t↓=Vĸ/g ... itd………………….
Tak ogólnie to przekształcając główne wzory (w rzucie pionowym skierowanym w górę) radziłbym samemu podzielić sobie cały rzut na:
- wznoszenie się ciała
-opadanie ciała
Rzut w dół:
Należy po prostu odpowiednio poprzekształcać główne wzory zgodnie z założeniami definicji rzutu pionowego. (Pamiętając jak zwykle o znakach!!!)
Rzut poziomy:
Jest to rzut skierowany poziomo z pewnej wysokości h ≠ 0 m z pewną nadaną prędkością początkową V₀x = V₀ (wzdłuż składowej X). V₀y = 0.
Przez cały czas trwania ruchu na ciało działa przyspieszenie ziemskie ‘g’ wzdłuż składowej Y.
Główne wzory potrzebne nam do rozwiązywania zadań:
rx = r₀x + V₀xt + (gxt^2)/2
VĸX = V₀x + gxt
ry = r₀y + V₀yt + (gyt^2)/2
Vĸy = V₀y + gyt
Układ odniesienia u góry, więc gx , gy = g.
[‘+’ dlatego, że (dana wielkość fizyczna)x/y określa już zwrot (znak) wektora w układzie odniesienia.]
Oczywiście wiadomo też, że w rzucie poziomym ruch ciała wzdłuż składowej Y jest jednostajnie przyspieszony, zaś wzdłuż składowej X jest on jednostajny prostoliniowy. Tak więc VĸX = V₀ (oczywiście w każdym możliwym położeniu ciała podczas trwania tego rzutu prędkość chwilowa wzdłuż składowej X jest równa V₀).
Należy pamiętać, że z = V₀xt ↔ z = V₀t
Wyznaczając inne wielkości należy po prostu pokombinować trochę z przekształcaniem głównych wzorów.
Rzut ukośny:
Jest to rzut rozpoczęty w pewnym punkcie układu (niekoniecznie na wysokości h = 0) skierowany pod kątem ‘α’ do poziomu. Zachowuje on pewne cechy rzutu poziomego, a mianowicie fakt, że ruch ciała wzdłuż składowej X jest jednostajny prostoliniowy (więc w każdym możliwym położeniu ciała podczas trwania tego rzutu prędkość chwilowa wzdłuż składowej X jest równa V₀), oraz, że ruch ciała wzdłuż składowej Y jest jednostajnie przyspieszony.
W rzucie ukośnym V₀x ≠ V₀, lecz V₀x = V₀ cosα (wynika to z funkcji trygonometrycznych trójkąta). V₀y = V₀ sinα
Główne wzory potrzebne nam do rozwiązywania zadań:
rx = r₀x + V₀xt + (gxt^2)/2
VĸX = V₀x + gxt
ry = r₀y + V₀yt + (gyt^2)/2
Vĸy = V₀y + gyt
Oczywiście Vk = √(VĸX^2 + Vĸy^2)
Tutaj układ odniesienia umieszczę na dole (w rzucie poziomym wstawiłem go u góry), więc gx , gy = -g.
Przekształcamy kombinując (jak zwykle ;D), lecz pozwolę sobie zamieścić równania charakterystyczne dla rzutu ukośnego:
z = V₀xt ↔ z = V₀t cosα
ry = 0
0 = V₀yt + (gyt^2)/2
0 = V₀t sinα - (gt^2)/2
t (V₀ sinα - gt/2 ) = 0 ↔
(t = 0) v (V₀ sinα - gt/2 = 0)
V₀ sinα = gt/2
t=(2V₀ sinα)/g
Przy wstawieniu powyższego wzoru na 't' w równanie na przemieszczenie, otrzymamy wynik zawierający m. in. iloczyn 2 sinα cosα, co się równa sin2α.
Ymax = ry (t↑) ,czyli ‘ry’ zależne od czasu wznoszenia się ciała
Zakładamy, że r₀y = 0, aby ułatwić wyprowadzanie wzoru (tak zresztą jest w większości zadań), [Uwaga na te pozostałe ;), tam należy postępować podobnie, lecz z uwzględnieniem r₀y. Byłoby
(ry - r₀y)(t↑) ,czyli różnica wysokości końcowej i początkowej zależna od czasu wznoszenia]
Więc tak:
Vĸy (t↑) = 0
0 = V₀y + gyt↑
V₀y = -gyt↑
V₀y = -(-gt↑)
V₀y = gt↑
t↑=(V₀y )/g
t↑=(V₀ sinα)/g
Idąc dalej:
ry(t↑) = r₀y + V₀yt↑ + (gyt↑^2)/2
Podstawiając (V₀ sinα)/g za t↑ wyjdzie nam:
Ymax=(V₀^2 sin²α)/2g
Dziękuję za przeczytanie ;D
Super praca.
Dużo samodzielnego wysiłku.
BRAWO!!!
WOW
|
|
